Kompleks ədədlər üzərində əməllər: toplama, çıxma, vurma, bölmə və natural üstlü qüvvət

İki kompleks ədədi toplamaq və ya çıxmaq üçün onların həqiqi hissələri və xəyali hissələri ayrı-ayrılıqda toplanır və ya çıxılır. Yəni, əgər $z_1 = a+bi$ və $z_2 = c+di$ olarsa:

Toplama: $z_1 + z_2 = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$

Çıxma: $z_1 - z_2 = (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i$

Məsələn, $(3+4i) + (1-2i) = (3+1) + (4-2)i = 4+2i$. $(5-3i) - (2+i) = (5-2) + (-3-1)i = 3-4i$.

İki kompleks ədədi vurmaq üçün çoxhədlilərin vurulması qaydasından istifadə edilir və $i^2 = -1$ olduğu nəzərə alınır. Əgər $z_1 = a+bi$ və $z_2 = c+di$ olarsa:

$z_1 \cdot z_2 = (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2$ $= ac + (ad+bc)i - bd = (ac-bd) + (ad+bc)i$

Məsələn, $(2+3i)(1-i) = 2\cdot1 + 2\cdot(-i) + 3i\cdot1 + 3i\cdot(-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i - 3(-1) = 2 + i + 3 = 5+i$.

İki kompleks ədədi bölmək üçün kəsrin surət və məxrəci məxrəcin qoşmasına vurulur. Məxrəcin qoşması $c-di$ olarsa, $(c+di)(c-di) = c^2 - (di)^2 = c^2 - d^2i^2 = c^2 + d^2$ alınır. Bu, məxrəci həqiqi ədədə çevirir.

$\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{ac - adi + bci - bdi^2}{c^2+d^2} = \frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}$

Məsələn, $\frac{1+2i}{3-i} = \frac{(1+2i)(3+i)}{(3-i)(3+i)} = \frac{3+i+6i+2i^2}{3^2+1^2} = \frac{3+7i-2}{9+1} = \frac{1+7i}{10} = \frac{1}{10} + \frac{7}{10}i$.

Xəyali vahid $i$-nin natural üstlü qüvvətləri dövri olaraq təkrarlanır:

$i^1 = i$ $i^2 = -1$ $i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i$ $i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$ $i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$

Göründüyü kimi, $i$-nin qüvvətləri 4 dövrü ilə təkrarlanır ($i, -1, -i, 1$). İstənilən $i^n$ qüvvətini tapmaq üçün $n$ ədədini 4-ə bölüb qalığı tapmaq lazımdır. Qalıq 0 olarsa ($n$ 4-ə tam bölünür), $i^n=1$. Qalıq $k$ olarsa, $i^n = i^k$.

Məsələn, $i^{23}$. $23 \div 4 = 5$ qalıq $3$. Deməli, $i^{23} = i^3 = -i$.

Ümumi kompleks ədədin natural üstlü qüvvəti $(a+bi)^n$ isə binom düsturu ilə hesablanır, məsələn, $(a+bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = (a^2-b^2) + 2abi$.