Həqiqi ədədlər üzərində əməllər

Həqiqi ədədlər ($\mathbb{R}$) rasional ($\mathbb{Q}$) və irrasional ($\mathbb{I}$) ədədlərin birləşməsidir: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$. Həqiqi ədədlər üzərində əməllər bir sıra əsas xassələrə malikdir:

• Kommutativlik (yerdəyişmə xassəsi): Toplama üçün $a+b=b+a$, vurma üçün $a \cdot b = b \cdot a$.
• Assosiativlik (qruplaşdırma xassəsi): Toplama üçün $(a+b)+c=a+(b+c)$, vurma üçün $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
• Distributivlik (paylama xassəsi): Vurma toplamaya görə distributivdir: $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Həqiqi ədədlərin toplanması və çıxılması qaydaları tam ədədlər üçün olan qaydalarla eynidir:

• Eyni işarəli ədədlərin toplanması: Modulları toplanır, işarə saxlanılır. Məsələn, $(-3) + (-5) = -8$.
• Müxtəlif işarəli ədədlərin toplanması: Modulların fərqi tapılır (böyükdən kiçik çıxılır), böyük modulun işarəsi qoyulur. Məsələn, $7 + (-4) = 3$, $(-9) + 2 = -7$.
• Çıxma: Çıxılan ədədin əksini toplayaraq çıxmanı toplamaya çevirmək olar: $a - b = a + (-b)$. Məsələn, $10 - (-3) = 10 + 3 = 13$.

Xüsusi hallar:

• Hər hansı ədədlə sıfırın cəmi elə həmin ədədə bərabərdir: $a+0=a$. (Sıfır toplamaya görə neytral elementdir).
• Əks ədədlərin cəmi sıfıra bərabərdir: $a+(-a)=0$. Məsələn, $5 + (-5) = 0$.

Həqiqi ədədlərin vurulması və bölünməsi qaydaları da tam ədədlər üçün olan qaydalarla eynidir:

• Eyni işarəli ədədlərin hasili (qisməti): Nəticə müsbət olur. Məsələn, $(-4) \cdot (-2) = 8$, $15 : 3 = 5$.
• Müxtəlif işarəli ədədlərin hasili (qisməti): Nəticə mənfi olur. Məsələn, $6 \cdot (-3) = -18$, $(-20) : 5 = -4$.
• Bölmə: Bölməni tərsinə vurma ilə əvəz etmək olar: $a : b = a \cdot \frac{1}{b}$ ($b \ne 0$).

Xüsusi hallar:

• Hər hansı ədədlə birin hasili elə həmin ədədə bərabərdir: $a \cdot 1 = a$. (Vahid vurmaya görə neytral elementdir).
• Sıfırdan fərqli ədədlə tərs ədədin hasili birə bərabərdir: $a \cdot \frac{1}{a} = 1$ ($a \ne 0$). Məsələn, $4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.
• Hər hansı ədədlə sıfırın hasili sıfıra bərabərdir: $a \cdot 0 = 0$.
• Sıfıra bölmək olmaz! Bu, riyazi olaraq təyin olunmayıb.

Qüvvətə yüksəltmə:

• Natural üstlü qüvvət: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \text{ dəfə}}$, burada $n$ natural ədəddir. Məsələn, $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
• Sıfır üstlü qüvvət: Sıfırdan fərqli istənilən ədədin sıfırıncı qüvvəti birə bərabərdir: $a^0=1$ ($a \ne 0$).
• Mənfi üstlü qüvvət: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ ($a \ne 0$). Məsələn, $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
• Kəsr üstlü qüvvət: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, burada $a > 0$.

Kökaltı əməllər:

• Kvadrat kök: $\sqrt{a}$ yalnız $a \ge 0$ olduqda təyin olunur. $\sqrt{a} \ge 0$. Məsələn, $\sqrt{25} = 5$.
• Kökaltı ifadələrin xassələri: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ ($a, b \ge 0$), $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ($a \ge 0, b > 0$).

Mürəkkəb riyazi ifadələri hesablayarkən əməllər müəyyən bir ardıcıllıqla yerinə yetirilməlidir:

1. Mötərizələrin (və ya digər qruplaşdırma simvollarının, məsələn, kvadrat mötərizənin, fiqurlu mötərizənin, kəsr xəttinin) daxilindəki əməllər.
2. Qüvvətə yüksəltmə və kökaltı əməlləri.
3. Vurma və bölmə əməlləri (soldan sağa doğru).
4. Toplama və çıxma əməlləri (soldan sağa doğru).

Bu ardıcıllıq "M-Q-V-B-T-Ç" (Mötərizə, Qüvvət/Kök, Vurma/Bölmə, Toplama/Çıxma) kimi yadda saxlanıla bilər.