Признаки делимости на 2, 5 и 10

Последняя цифра числа определяет его делимость на 2, 5 и 10:

Признак делимости на 2: Все числа, оканчивающиеся на чётную цифру (0, 2, 4, 6, 8), делятся на 2 без остатка. Например, 48, 130, 256.
Признак делимости на 5: Все числа, оканчивающиеся на 0 или 5, делятся на 5 без остатка. Например, 75, 200, 1025.
Признак делимости на 10: Все числа, оканчивающиеся на 0, делятся на 10 без остатка. Этот признак объединяет в себе признаки делимости на 2 и на 5. Например, 90, 340, 1500.

Признаки делимости на 3 и 9

Сумма цифр числа определяет его делимость на 3 и 9:

Признак делимости на 3: Все числа, сумма цифр которых делится на 3 без остатка, делятся на 3 без остатка. Например, сумма цифр числа 123 равна $1+2+3=6$ . Так как 6 делится на 3, то и 123 делится на 3 ( $123:3=41$ ).
Признак делимости на 9: Все числа, сумма цифр которых делится на 9 без остатка, делятся на 9 без остатка. Например, сумма цифр числа 729 равна $7+2+9=18$ . Так как 18 делится на 9, то и 729 делится на 9 ( $729:9=81$ ). Обратите внимание, что любое число, делящееся на 9, также делится и на 3.

Признак делимости на 4

Последние две цифры числа определяют его делимость на 4:

Признак делимости на 4: Если число, образованное последними двумя цифрами числа, делится на 4 без остатка, или число оканчивается на два нуля, то это число делится на 4 без остатка. Например, последние две цифры числа 124 образуют число 24. Так как 24 делится на 4, то и 124 делится на 4 ( $124:4=31$ ). Число 500 также делится на 4 ( $500:4=125$ ). Другой пример: последние две цифры числа 1316 образуют число 16. Так как 16 делится на 4, то и 1316 делится на 4 ( $1316:4=329$ ).

Знание этих признаков помогает экономить время при работе с большими числами.

Запомните

Делится на 2: последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8).
Делится на 5: последняя цифра 0 или 5.
Делится на 10: последняя цифра 0.
Делится на 3: сумма цифр делится на 3.
Делится на 9: сумма цифр делится на 9.
Делится на 4: число, образованное последними двумя цифрами, делится на 4, или число оканчивается на два нуля.

Разобранные примеры

Пример 1
Определите, делится ли число 7380 на 2, 3, 4, 5, 9 и 10.
Решение
1. Делимость на 2: Последняя цифра 0, это чётная цифра. Значит, 7380 делится на 2.
2. Делимость на 3: Сумма цифр $7+3+8+0=18$ . Число 18 делится на 3 ( $18:3=6$ ). Значит, 7380 делится на 3.
3. Делимость на 4: Число, образованное последними двумя цифрами, — это 80. Число 80 делится на 4 ( $80:4=20$ ). Значит, 7380 делится на 4.
4. Делимость на 5: Последняя цифра 0. Значит, 7380 делится на 5.
5. Делимость на 9: Сумма цифр $7+3+8+0=18$ . Число 18 делится на 9 ( $18:9=2$ ). Значит, 7380 делится на 9.
6. Делимость на 10: Последняя цифра 0. Значит, 7380 делится на 10.
Ответ: Число 7380 делится на 2, 3, 4, 5, 9 и 10.
Пример 2
Какую цифру нужно поставить вместо "" в числе 354, чтобы оно делилось на 9?
Решение
1. Согласно признаку делимости на 9, сумма цифр числа должна делиться на 9.
2. Найдём сумму известных цифр данного числа: $3+5+*+4 = 12+*$ .
3. Теперь нужно найти такую цифру для "*" (от 0 до 9), чтобы сумма $12+*$ делилась на 9.
4. Если $*=0$ , сумма $12$ , не делится на 9.
5. Если $*=1$ , сумма $13$ , не делится на 9.
6. Если $*=2$ , сумма $14$ , не делится на 9.
7. Если $*=3$ , сумма $15$ , не делится на 9.
8. Если $*=4$ , сумма $16$ , не делится на 9.
9. Если $*=5$ , сумма $17$ , не делится на 9.
10. Если $*=6$ , сумма $18$ , делится на 9 ( $18:9=2$ ).
11. Для других цифр (7, 8, 9) сумма будет больше 18 и не будет делиться на 9 (например, $12+7=19$ , $12+8=20$ , $12+9=21$ ).
Ответ: Вместо "*" нужно поставить цифру 6, чтобы число делилось на 9. (3564)

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Какое из следующих чисел делится без остатка и на 2, и на 9?
1. 135
2. 278
3. 360
4. 452
5. 543
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 360
Чтобы число делилось на 2, оно должно оканчиваться на чётную цифру. Чтобы делилось на 9, сумма его цифр должна делиться на 9. Число 360 оканчивается на 0 (чётное), и сумма его цифр $3+6+0=9$ , что делится на 9. Следовательно, 360 делится и на 2, и на 9.
Найдите сумму цифр, которые можно подставить вместо x в числе 7x24, чтобы оно делилось на 3.
1. 6
2. 9
3. 12
4. 15
5. 18
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D 15
По признаку делимости на 3, сумма цифр должна делиться на 3: $7+x+2+4 = 13+x$ . Чтобы $13+x$ делилось на 3, вместо x можно подставить цифры 2, 5, 8 ( $13+2=15$ , $13+5=18$ , $13+8=21$ ). Сумма этих цифр $2+5+8=15$ .
Сколько натуральных чисел, меньших 100, делятся без остатка и на 4, и на 5?
1. 4
2. 5
3. 9
4. 10
5. 20
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A 4
Если число делится и на 4, и на 5, то оно должно делиться на их наименьшее общее кратное, то есть на $\text{НОК}(4, 5)=20$ . Натуральные числа, меньшие 100 и делящиеся на 20: 20, 40, 60, 80. Всего таких чисел 4.

Типичные ошибки

Неправильно подсчитывать сумму цифр при применении признака делимости на 3.
Применять признак делимости на 4, смотря только на последнюю цифру числа, а не на две последние.
Забывать, что число, делящееся и на 2, и на 5, обязательно должно делиться на 10.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото