Среднее арифметическое

Среднее арифметическое нескольких чисел находится путём деления их суммы на количество этих чисел. Это наиболее часто используемый тип среднего значения в повседневной жизни.

Среднее арифметическое $n$ чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ вычисляется по следующей формуле:

\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}

Например, среднее арифметическое чисел 3, 5 и 7 равно $\frac{3+5+7}{3} = \frac{15}{3} = 5$ .

Среднее геометрическое

Среднее геометрическое нескольких положительных чисел находится путём извлечения корня $n$ -й степени из их произведения, где $n$ — количество этих чисел. Среднее геометрическое определяется только для положительных чисел.

Среднее геометрическое $n$ положительных чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ вычисляется по следующей формуле:

\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}

Например, среднее геометрическое чисел 2 и 8 равно $\sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$ . Обратите внимание, что числа должны быть положительными.

Связь между средним арифметическим и средним геометрическим (неравенство Коши)

Между средним арифметическим и средним геометрическим существует важная связь, известная как неравенство о средних (или неравенство Коши). Согласно этому неравенству, для любых положительных чисел их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического:

\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}

Равенство достигается только тогда, когда все числа равны друг другу ( $a_1=a_2=...=a_n$ ).

Частный случай для двух положительных чисел $a$ и $b$ выглядит так:

\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}

Доказательство этого неравенства просто: поскольку $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$ (квадрат всегда неотрицателен): $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$ $a+b \ge 2\sqrt{ab}$ $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Запомните

Среднее арифметическое: для $n$ чисел $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$ .
Среднее геометрическое: для $n$ положительных чисел $\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$ .
Неравенство Коши (для положительных чисел): $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$ .
Равенство достигается только при равенстве всех чисел ( $a_1=a_2=...=a_n$ ).

Разобранные примеры

Пример 1
Найдите среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел 4, 9 и 16.
Решение
1. Среднее арифметическое: Суммируем числа и делим на их количество. Среднее арифметическое $= \frac{4+9+16}{3} = \frac{29}{3} \approx 9{,}67$
2. Среднее геометрическое: Извлекаем корень третьей степени из произведения чисел. Среднее геометрическое $= \sqrt[3]{4 \cdot 9 \cdot 16} = \sqrt[3]{576}$ Поскольку $576 = 64 \cdot 9$ , то $\sqrt[3]{576} = \sqrt[3]{64 \cdot 9} = 4\sqrt[3]{9}$ .
Ответ: Среднее арифметическое $\frac{29}{3}$ , среднее геометрическое $4\sqrt[3]{9}$ .
Пример 2
При $x>0$ , найдите наименьшее значение выражения $x+\frac{4}{x}$ .
Решение
Мы можем применить неравенство Коши для двух положительных чисел $x$ и $\frac{4}{x}$ :

$\frac{x+\frac{4}{x}}{2} \ge \sqrt{x \cdot \frac{4}{x}}$

$\frac{x+\frac{4}{x}}{2} \ge \sqrt{4}$ $\frac{x+\frac{4}{x}}{2} \ge 2$ $x+\frac{4}{x} \ge 4$

Наименьшее значение выражения равно 4. Равенство достигается, когда $x = \frac{4}{x}$ , то есть $x^2=4$ . Поскольку $x>0$ , получаем $x=2$ .

Ответ: Наименьшее значение выражения равно 4.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Найдите среднее арифметическое чисел 2, 4, 6, 8.
1. 4
2. 5
3. 5,5
4. 6
5. 6,5
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 5
Среднее арифметическое = $(2+4+6+8)/4 = 20/4 = 5$ .
Одно из двух чисел равно 4. Найдите второе число, если их среднее геометрическое равно 6.
1. 8
2. 9
3. 10
4. 12
5. 16
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 9
Если два числа $a$ и $b$ , то их среднее геометрическое равно $\sqrt{ab}$ . По условию $\sqrt{4 \cdot x} = 6$ . Возведя в квадрат обе части, получаем $4x = 36$ , откуда $x = 9$ .
Если $a, b > 0$ , то какое из следующих утверждений всегда верно?
1. $a+b < 2\sqrt{ab}$
2. $a+b = 2\sqrt{ab}$
3. $a+b \ge 2\sqrt{ab}$
4. $a+b > 2\sqrt{ab}$
5. $a+b \le 2\sqrt{ab}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $a+b \ge 2\sqrt{ab}$
Это прямое выражение неравенства Коши для двух положительных чисел: $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ , что эквивалентно $a+b \ge 2\sqrt{ab}$ .

Типичные ошибки

Пытаться использовать отрицательные числа при вычислении среднего геометрического. Среднее геометрическое определяется только для положительных чисел.
Забывать условие положительности чисел при применении неравенства Коши. Это неравенство неверно для отрицательных чисел.
Путать среднее арифметическое со средним геометрическим или ошибаться в их формулах вычисления.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото