Ədədi orta

Bir neçə ədədin ədədi ortası onların cəminin ədədlərin sayına bölünməsi ilə tapılır. Bu, gündəlik həyatda ən çox istifadə olunan orta növüdür.

$n$ sayda $a_1, a_2, ..., a_n$ ədədlərinin ədədi ortası aşağıdakı düsturla hesablanır:

\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}

Məsələn, 3, 5 və 7 ədədlərinin ədədi ortası $\frac{3+5+7}{3} = \frac{15}{3} = 5$ -dir.

Həndəsi orta

Bir neçə müsbət ədədin həndəsi ortası onların hasilindən ədədlərin sayına bərabər dərəcədən kök alınması ilə tapılır. Həndəsi orta yalnız müsbət ədədlər üçün təyin olunur.

$n$ sayda $a_1, a_2, ..., a_n$ müsbət ədədlərinin həndəsi ortası aşağıdakı düsturla hesablanır:

\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}

Məsələn, 2 və 8 ədədlərinin həndəsi ortası $\sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$ -dür. Qeyd edək ki, ədədlər müsbət olmalıdır.

Ədədi orta ilə həndəsi orta arasında əlaqə (Koşi bərabərsizliyi)

Ədədi orta ilə həndəsi orta arasında vacib bir əlaqə var ki, bu da ədədi orta və həndəsi orta haqqında bərabərsizlik və ya Koşi bərabərsizliyi adlanır. Bu bərabərsizliyə görə, istənilən müsbət ədədlər üçün onların ədədi ortası həndəsi ortasından kiçik deyil:

\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}

Bərabərlik yalnız bütün ədədlər bir-birinə bərabər olduqda ( $a_1=a_2=...=a_n$ ) doğrudur.

İki müsbət ədəd $a$ və $b$ üçün xüsusi halı belədir:

\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}

Bu bərabərsizliyin isbatı sadədir: $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$ olduğu üçün (kvadrat həmişə mənfi deyil): $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$ $a+b \ge 2\sqrt{ab}$ $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Yadda saxla

Ədədi orta: $n$ ədəd üçün $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$ .
Həndəsi orta: $n$ müsbət ədəd üçün $\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$ .
Koşi bərabərsizliyi (müsbət ədədlər üçün): $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$ .
Bərabərlik yalnız ədədlər bərabər olduqda ( $a_1=a_2=...=a_n$ ) doğrudur.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
4, 9 və 16 ədədlərinin ədədi və həndəsi ortasını tapın.
Həlli
1. Ədədi orta: Ədədlərin cəmini onların sayına bölürük. Ədədi orta $= \frac{4+9+16}{3} = \frac{29}{3} \approx 9{,}67$
2. Həndəsi orta: Ədədlərin hasilindən onların sayına bərabər dərəcədən kök alırıq. Həndəsi orta $= \sqrt[3]{4 \cdot 9 \cdot 16} = \sqrt[3]{576}$ $576 = 64 \cdot 9$ , beləliklə, $\sqrt[3]{576} = \sqrt[3]{64 \cdot 9} = 4\sqrt[3]{9}$ .
Cavab: Ədədi orta $\frac{29}{3}$ , həndəsi orta $4\sqrt[3]{9}$ .
Misal 2
$x>0$ olarsa, $x+\frac{4}{x}$ ifadəsinin ən kiçik qiymətini tapın.
Həlli
İki müsbət ədəd $x$ və $\frac{4}{x}$ üçün Koşi bərabərsizliyini tətbiq edə bilərik:

$\frac{x+\frac{4}{x}}{2} \ge \sqrt{x \cdot \frac{4}{x}}$

$\frac{x+\frac{4}{x}}{2} \ge \sqrt{4}$ $\frac{x+\frac{4}{x}}{2} \ge 2$ $x+\frac{4}{x} \ge 4$

İfadənin ən kiçik qiyməti 4-dür. Bərabərlik $x = \frac{4}{x}$ olduqda, yəni $x^2=4$ və $x>0$ olduğundan $x=2$ olduqda alınır.

Cavab: İfadənin ən kiçik qiyməti 4-dür.

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

2, 4, 6, 8 ədədlərinin ədədi ortasını tapın.
1. 4
2. 5
3. 5,5
4. 6
5. 6,5
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B 5
Ədədi orta = $(2+4+6+8)/4 = 20/4 = 5$ .
Həndəsi ortası 6 olan iki ədəddən biri 4 olarsa, digəri neçədir?
1. 8
2. 9
3. 10
4. 12
5. 16
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B 9
İki ədəd $a$ və $b$ olarsa, həndəsi orta $\sqrt{ab}$ -dir. Verilənlərə görə $\sqrt{4 \cdot x} = 6$ . Kvadrat yüksəltsək: $4x = 36$ , buradan $x = 9$ .
$a, b > 0$ olarsa, aşağıdakılardan hansı həmişə doğrudur?
1. $a+b < 2\sqrt{ab}$
2. $a+b = 2\sqrt{ab}$
3. $a+b \ge 2\sqrt{ab}$
4. $a+b > 2\sqrt{ab}$
5. $a+b \le 2\sqrt{ab}$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C $a+b \ge 2\sqrt{ab}$
Bu, Koşi bərabərsizliyinin iki müsbət ədəd üçün ifadəsidir: $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ , yəni $a+b \ge 2\sqrt{ab}$ .

Tipik səhvlər

Həndəsi orta hesablayarkən mənfi ədədləri istifadə etməyə çalışmaq. Həndəsi orta yalnız müsbət ədədlər üçün təyin olunur.
Koşi bərabərsizliyini tətbiq edərkən ədədlərin müsbət olması şərtini unudmaq. Bu bərabərsizlik mənfi ədədlər üçün doğru deyil.
Ədədi orta ilə həndəsi ortanı qarışdırmaq və ya onların hesablanma düsturlarını səhv salmaq.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et