Целая и дробная части числа

Разобранные примеры

1. Пример 1

   Найдите целую и дробную части чисел $x = 5{,}23$ и $y = -7{,}4$.

   Решение

   Найдём целую и дробную части для каждого числа:

   • Для $x = 5{,}23$:

     • Целая часть: $[5{,}23] = 5$. (Так как $5$ — наибольшее целое число, не превосходящее $5{,}23$).
     • Дробная часть: $\{5{,}23\} = 5{,}23 - [5{,}23] = 5{,}23 - 5 = 0{,}23$.

   • Для $y = -7{,}4$:

     • Целая часть: $[-7{,}4] = -8$. (Так как $-8$ — наибольшее целое число, не превосходящее $-7{,}4$. Число $-7$ больше, чем $-7{,}4$, поэтому его нельзя брать).
     • Дробная часть: $\{-7{,}4\} = -7{,}4 - [-7{,}4] = -7{,}4 - (-8) = -7{,}4 + 8 = 0{,}6$.

   Ответ: Целая часть $x$ равна $5$, дробная часть $0{,}23$; целая часть $y$ равна $-8$, дробная часть $0{,}6$.

2. Пример 2

   Вычислите: $[3\sqrt{5}] + \{-2{,}8\} - [0{,}1]$.

   Решение

   Сначала вычислим каждую часть по отдельности:

   1. Целая часть числа $3\sqrt{5}$:

      • $3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.
      • Мы знаем, что $6^2 = 36$ и $7^2 = 49$. Следовательно, $6 < \sqrt{45} < 7$. Приблизительно $\sqrt{45} \approx 6{,}7$.
      • $[3\sqrt{5}] = [\sqrt{45}] = 6$.

   2. Дробная часть числа $\{-2{,}8\}$:

      • Сначала найдём целую часть $-2{,}8$: $[-2{,}8] = -3$. (Так как $-3$ — наибольшее целое число, не превосходящее $-2{,}8$).
      • Затем вычислим дробную часть: $\{-2{,}8\} = -2{,}8 - [-2{,}8] = -2{,}8 - (-3) = -2{,}8 + 3 = 0{,}2$.

   3. Целая часть числа $[0{,}1]$:

      • $[0{,}1] = 0$.

   Теперь вычислим значение всего выражения: $[3\sqrt{5}] + \{-2{,}8\} - [0{,}1] = 6 + 0{,}2 - 0 = 6{,}2$.

   Ответ: $6{,}2$.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

1. Αʹ

   Если $x = -12{,}05$, то найдите сумму $[x] + \{x\}$.

   1. A-12
   2. B-12,05
   3. C0,05
   4. D0,95
   5. E-13
   Показать ответСкрыть ответ

   Правильный ответ: B -12,05

   По определению числа, для любого действительного числа $x$ справедливо равенство $x = [x] + \{x\}$. Следовательно, сумма $[x] + \{x\}$ равна самому числу $x$. В данном случае $x = -12{,}05$, поэтому сумма также равна $-12{,}05$.

2. Βʹ

   Найдите значение выражения $A = [\frac{10}{3}] + \{-3{,}4\}$.

   1. A2,6
   2. B3,6
   3. C4,6
   4. D5,6
   5. E6,6
   Показать ответСкрыть ответ

   Правильный ответ: B 3,6

   Сначала вычислим каждую часть отдельно:

   • Так как $\frac{10}{3} = 3{,}333...$, то $[\frac{10}{3}] = 3$.
   • Для $\{-3{,}4\}$ сначала найдём целую часть: $[-3{,}4] = -4$. Затем вычислим дробную часть: $\{-3{,}4\} = -3{,}4 - (-4) = -3{,}4 + 4 = 0{,}6$. Теперь найдём значение выражения: $A = 3 + 0{,}6 = 3{,}6$.
3. Γʹ

   Какое из следующих утверждений всегда верно?

   1. A$\{x\} < 0$
   2. B$[x] > x$
   3. C$\{x\} = x - [x]$
   4. D$[x] = x$
   5. E$\{x\} \ge 1$
   Показать ответСкрыть ответ

   Правильный ответ: C $\{x\} = x - [x]$

   Определение дробной части числа даётся формулой $\{x\} = x - [x]$, и это утверждение всегда верно. Остальные варианты не всегда верны:

   • Вариант A: $\{x\} < 0$ неверно, так как дробная часть всегда находится в интервале $0 \le \{x\} < 1$.
   • Вариант B: $[x] > x$ неверно, так как по определению целой части $[x] \le x$.
   • Вариант D: $[x] = x$ верно только в том случае, если $x$ является целым числом.
   • Вариант E: $\{x\} \ge 1$ неверно, так как дробная часть всегда находится в интервале $0 \le \{x\} < 1$.

Типичные ошибки

• При нахождении целой части отрицательных чисел просто отбрасывать дробную часть (например, считать, что $[-3{,}7]$ равно $-3$). Правильно: $-4$.
• Считать, что дробная часть может быть отрицательной. Дробная часть всегда находится в интервале $0 \le \{x\} < 1$.
• Считать, что $[x+y] = [x] + [y]$. Например, $[0{,}6+0{,}7] = [1{,}3] = 1$, а $[0{,}6]+[0{,}7] = 0+0 = 0$.